Čo je to normálne rozdelenie v štatistike?
Normálne rozdelenie je krivka frekvenčného rozdelenia frekvencie v tvare zvona, ktorá pomáha opísať všetky možné hodnoty, ktoré môže náhodná premenná nabrať v danom rozsahu, pričom väčšina distribučnej oblasti je v strede a niekoľko je v koncoch, v extrémoch. Toto rozdelenie má dva kľúčové parametre: strednú hodnotu (µ) a štandardnú odchýlku (σ), ktoré zohrávajú kľúčovú úlohu pri výpočte návratnosti majetku a v stratégii riadenia rizík.
Ako interpretovať normálne rozdelenie
Vyššie uvedený obrázok ukazuje, že štatistické normálne rozdelenie je zvonová krivka. Rozsah možných výsledkov tohto rozdelenia sú celé reálne čísla ležiace medzi -∞ až + ∞. Chvosty zvonovej krivky sa rozprestierajú na oboch stranách grafu (+/-) bez obmedzenia.
- Približne 68% všetkých pozorovaní spadá do +/- jednej štandardnej odchýlky (σ)
- Približne 95% všetkých pozorovaní spadá do +/- dvoch štandardných odchýlok (σ)
- Približne 99% všetkých pozorovaní spadá do +/- troch štandardných odchýlok (σ)
Má nulovú šikmosť (symetria rozdelenia). Ak je distribúcia údajov asymetrická, potom je distribúcia nerovnomerná, ak má súbor údajov šikmosť väčšiu ako nula alebo kladnú šikmosť. Potom je pravý chvost distribúcie predĺžený viac ako ľavý a pre negatívnu šikmosť (menej ako nula) bude ľavý chvost dlhší ako pravý chvost.
Má špičatosť 3 (meria špičku distribúcie), čo naznačuje, že distribúcia nie je ani príliš špičková, ani príliš tenká. Ak je špičatosť viac ako tri, distribúcia je vrcholnejšia tučnejšími chvostmi a ak je špičatosť menšia ako tri, potom má tenké chvosty a špičkový bod je nižší ako normálne rozdelenie.
Charakteristiky
- Predstavujú rodinu distribúcie, kde priemer a odchýlka určujú tvar distribúcie.
- Priemer, stredná hodnota a spôsob tohto rozdelenia sú rovnaké.
- Polovica hodnôt je naľavo od stredu a druhá polovica napravo.
- Celková hodnota pod štandardnou krivkou bude vždy jedna.
- S najväčšou pravdepodobnosťou je distribúcia v strede a menej hodnôt leží na konci.
Transformácia (Z)
Funkcia hustoty pravdepodobnosti (PDF) náhodnej premennej (X) po rozdelení je daná vzorcom:
kde -∞ <x <∞; -∞ <u0
Kde,
- F (x) = funkcia normálnej pravdepodobnosti
- x = Náhodná premenná
- µ = stredná hodnota distribúcie
- σ = štandardná odchýlka rozdelenia
- π = 3,14159
- e = 2,71828
Transformačný vzorec
Kde,
- X = Náhodná veličina
Príklady normálneho rozdelenia v štatistike
Poďme diskutovať o nasledujúcich príkladoch.
Príklad č
Predpokladajme, že spoločnosť má 10 000 zamestnancov a štruktúru viacerých platov podľa pracovnej roly, v ktorej zamestnanec pracuje. Platy sa zvyčajne distribuujú s priemerom obyvateľstva µ = 60 000 dolárov a štandardnou odchýlkou obyvateľstva σ = 15 000 dolárov. Aká bude pravdepodobnosť, že náhodne vybraný zamestnanec má plat nižší ako 45 000 dolárov ročne.
Riešenie
Ako je znázornené na vyššie uvedenom obrázku, na zodpovedanie tejto otázky musíme zistiť oblasť pod normálnou krivkou od 45 po chvost na ľavej strane. Aby sme dostali správnu odpoveď, musíme tiež použiť hodnotu tabuľky Z.
Najskôr musíme pomocou transformačného vzorca previesť danú strednú a štandardnú odchýlku na štandardné normálne rozdelenie s priemerom (µ) = 0 a štandardnou odchýlkou (σ) = 1.
Po konverzii musíme vyhľadať Z-tabuľku, aby sme zistili zodpovedajúcu hodnotu, ktorá nám dá správnu odpoveď.
Vzhľadom na to,
- Priemer (µ) = 60 000 dolárov
- Štandardná odchýlka (σ) = 15 000 dolárov
- Náhodná premenná (x) = 45 000 dolárov
Transformácia (z) = (45000 - 60000/15000)
Transformácia (z) = -1
Teraz je hodnota, ktorá je ekvivalentná -1 v Z-tabuľke, 0,1587, čo predstavuje plochu pod krivkou od 45 smerom doľava. Naznačovalo to, že keď náhodne vyberieme zamestnanca, pravdepodobnosť toho, že ročne zarobíme menej ako 45 000 dolárov, je 15,87%.
Príklad č
Pri zachovaní rovnakého scenára ako je uvedené vyššie zistite pravdepodobnosť, že náhodne vybraný zamestnanec zarobí pri bežnom rozdelení viac ako 80 000 dolárov ročne.
Riešenie
Takže v tejto otázke musíme pomocou rovnakého vzorca zistiť tienenú oblasť od 80 po pravý chvost.
Vzhľadom na to,
- Priemer (µ) = 60 000 dolárov
- Štandardná odchýlka (σ) = 15 000 dolárov
- Náhodná premenná (X) = 80 000 dolárov
Transformácia (z) = (80000 - 60000/15000)
Transformácia (z) = 1,33
Podľa tabuľky Z je ekvivalentná hodnota 1,33 0,9082 alebo 90,82%, čo ukazuje, že pravdepodobnosť náhodného výberu zamestnancov, ktorí zarábajú menej ako 80 000 dolárov ročne, je 90,82%.
Pokiaľ však ide o otázku, musíme určiť pravdepodobnosť náhodných zamestnancov, ktorí zarobia viac ako 80 000 dolárov ročne, takže musíme odpočítať hodnotu od 100.
- Náhodná premenná (X) = 100% - 90,82%
- Náhodná premenná (X) = 9,18%
Takže pravdepodobnosť, že zamestnanci zarobia viac ako 80 000 dolárov ročne, je 9,18%.
Používa sa
- Technický graf akciového trhu je často krivkou, ktorá umožňuje analytikom a investorom robiť štatistické závery o očakávanom výnose a riziku akcií.
- Používa sa v reálnom svete, ako je určenie najpravdepodobnejšieho najlepšieho času, ktorý spoločnosti na výrobu pizze podniknú na dodanie pizze a mnohých ďalších reálnych aplikácií.
- Používa sa pri porovnaní výšok danej populácie, v ktorej bude mať väčšina ľudí priemernú veľkosť a len veľmi málo ľudí bude mať nadpriemernú alebo podpriemernú výšku.
- Používajú sa pri určovaní priemerného akademického výkonu študentov, čo pomáha porovnávať poradie študentov.
Záver
Normálna distribúcia nachádza uplatnenie v oblasti dátovej vedy a analýzy dát. Pokročilé technológie ako umelá inteligencia a strojové učenie použité spolu s touto distribúciou môžu poskytnúť lepšiu kvalitu údajov, čo pomôže jednotlivcom aj spoločnostiam pri efektívnom rozhodovaní.
