Definícia centrálnej limitnej vety
Centrálna limitná veta uvádza, že náhodné vzorky populačnej náhodnej premennej s akýmkoľvek rozdelením sa budú približovať k normálnemu rozdeleniu pravdepodobnosti, keď sa veľkosť vzorky zvýši, a predpokladá, že s veľkosťou vzorky v populácii presahujúcou 30 vzorky, ktorej priemer všetkých pozorovaní pre vzorku sa bude blížiť priemeru populácie.
Formula Centrálnej limitnej vety
Už sme hovorili o tom, že keď veľkosť vzorky presiahne 30, distribúcia má tvar normálneho rozdelenia. Pre určenie normálneho rozdelenia premennej je dôležité poznať jej priemer a jej odchýlku. Normálne rozdelenie je možné uviesť ako
X ~ N (µ, α)
Kde
- N = počet pozorovaní
- µ = priemer z pozorovaní
- α = štandardná odchýlka
Vo väčšine prípadov pozorovania veľa neprezrádzajú v surovej podobe. Preto je nevyhnutné štandardizovať pozorovania, aby sme to mohli porovnať. Robí sa to pomocou z-skóre. Je potrebné vypočítať Z-skóre pre pozorovanie. Vzorec na výpočet z-skóre je
Z = (X- µ) / α / √n
Kde
- Z = Z-skóre pozorovaní
- µ = priemer z pozorovaní
- α = štandardná odchýlka
- n = veľkosť vzorky
Vysvetlenie
Centrálna limitná veta uvádza, že náhodné vzorky náhodnej populačnej premennej s akýmkoľvek rozdelením sa budú približovať k normálnemu rozdeleniu pravdepodobnosti, keď sa veľkosť vzorky zvýši. Centrálna limitná veta predpokladá, že keď veľkosť vzorky v populácii presiahne 30, stredná hodnota vzorky, ktorej priemer všetkých pozorovaní pre vzorku sa bude blížiť priemeru populácie. Štandardná odchýlka vzorky, keď veľkosť vzorky presiahne 30, sa bude rovnať štandardnej odchýlke populácie. Pretože vzorka je náhodne vybraná z celej populácie a jej veľkosť je viac ako 30, pomáha to pri testovaní hypotéz a konštrukcii intervalu spoľahlivosti pre testovanie hypotéz.
Príklady vzorca podľa centrálnej limitnej vety (so šablónou programu Excel)
Príklad č
Poďme pochopiť príklad normálneho rozdelenia pomocou príkladu. Priemerný výnos z podielového fondu je 12% a štandardná odchýlka od priemerného výnosu pre investíciu do podielového fondu je 18%. Ak vychádzame z toho, že rozdelenie výnosov je normálne rozdelené, interpretujme rozdelenie výnosov v investovaní podielového fondu.
Vzhľadom na to,
- Priemerný výnos z investície bude 12%
- Štandardná odchýlka bude 18%
Takže, aby sme zistili návratnosť pre 95% interval spoľahlivosti, môžeme ju zistiť riešením rovnice ako
- Horný rozsah = 12 + 1,96 (18) = 47%
- Dolný rozsah = 12 - 1,96 (18) = -23%
Výsledok znamená, že v 95% prípadov sa výnos z podielového fondu bude pohybovať v rozmedzí od 47% do -23%. V tomto príklade nám veľkosť vzorky, ktorá predstavuje výnos náhodnej vzorky s viac ako 30 pozorovaniami návratu, poskytne výsledok pre návratnosť populácie podielového fondu, pretože rozdelenie vzorky bude normálne rozdelené.
Príklad č
Pokračujeme rovnakým príkladom. Poďme určiť, aký bude výsledok pre 90% interval spoľahlivosti
Vzhľadom na to,
- Priemerný výnos z investície bude 12%
- Štandardná odchýlka bude 18%
Takže, aby sme zistili návratnosť pre 90% interval spoľahlivosti, môžeme ju zistiť riešením rovnice ako
- Horný rozsah = 12 + 1,65 (18) = 42%
- Dolný rozsah = 12 - 1,65 (18) = -18%
Výsledok znamená, že v 90% prípadov sa výnos z podielového fondu bude pohybovať v rozmedzí od 42% do -18%.
Príklad č
Pokračujúc v rovnakom príklade, určme, aký bude výsledok pre 99% interval spoľahlivosti
Vzhľadom na to,
- Priemerný výnos z investície bude 12%
- Štandardná odchýlka bude 18%
Takže, aby sme zistili návratnosť pre 90% interval spoľahlivosti, môžeme ju zistiť riešením rovnice ako
- Horný rozsah = 12 + 2,58 (18) = 58%
- Dolný rozsah = 12 - 2,58 (18) = -34%
Výsledok znamená, že 99% času sa návratnosť podielového fondu bude pohybovať v rozmedzí od 58% do -34%.
Relevantnosť a použitie
Centrálna limitná veta je mimoriadne prospešná, pretože umožňuje výskumníkovi predpovedať priemer a štandardnú odchýlku celej populácie pomocou vzorky. Pretože vzorka je náhodne vybraná z celej populácie a veľkosť vzorky je viac ako 30, potom sa akákoľvek náhodná veľkosť vzorky odobratá z populácie priblíži k normálnemu rozdeleniu, čo pomôže pri testovaní hypotéz a konštrukcii intervalu spoľahlivosti pre testovanie hypotéz. Na základe centrálnej limitnej vety je výskumný pracovník schopný vybrať ľubovoľnú náhodnú vzorku z celej populácie, a keď je veľkosť vzorky viac ako 30,potom môže pomocou vzorky predpovedať populáciu, pretože vzorka bude sledovať normálne rozdelenie a tiež ako priemer a štandardnú odchýlku vzorky bude rovnaká ako priemer a štandardná odchýlka populácie.
