Čo je Eulerova úplná funkcia?
Eulerova funkcia Totient je matematická multiplikatívna funkcia, ktorá počíta kladné celé čísla až do daného celého čísla, ktoré sa všeobecne nazýva „n“, ktoré sú prvočíslom až „n“, a pomocou tejto funkcie sa pozná počet prvočísel, ktoré existujú až do dané celé číslo „n“.
Vysvetlenie
Ak chcete vedieť, koľko prvočísiel prichádza k danému celému číslu, použije sa Eulerova totientná funkcia. Nazýva sa tiež aritmetická funkcia. Pre aplikáciu alebo použitie funkcie Euler's Totient sú dôležité dve veci. Jedným z nich je, že gcd vytvorené z daného celého čísla „n“ by malo byť navzájom multiplikatívne a druhým je, že čísla gcd by mali byť iba prvočíslami. Celé číslo „n“ by v tomto prípade malo byť viac ako 1. Z mínusového celého čísla nie je možné vypočítať Eulerovu celkovú funkciu. Princíp v tomto prípade spočíva v tom, že pre ϕ (n) by multiplikátory nazývané m an mali byť väčšie ako 1. Preto sa označuje 1
História
Euler zaviedol túto funkciu v roku 1763. Spočiatku Euler používal na označenie funkcie grécky π, ale kvôli niektorým problémom jeho uznanie gréckeho π nedostalo uznanie. A nedokázal mu dať správny znak zápisu, tj ϕ. Funkciu preto nie je možné zaviesť. Ďalej ϕ bol prevzatý z Gaussovho 1801 Disquisitiones Arithmeticae. Táto funkcia sa tiež nazýva phi funkcia. Ale JJ Sylvester, v roku 1879, zahrnul termín totient pre túto funkciu kvôli vlastnostiam a použitiu funkcií. Rôzne pravidlá sú zostavené tak, aby narábali s rôznymi druhmi celých čísel, ako napríklad ak je celé číslo p prvočíslo, ktoré pravidlo sa má použiť atď., Všetky pravidlá, ktoré upravuje Euler, sú praktické a dajú sa použiť aj dnes pri riešení to isté.
Vlastnosti Eulerovej totálnej funkcie
Existujú niektoré z rôznych vlastností. Niektoré z vlastností Eulerovej totientovej funkcie sú uvedené nižšie:
- Φ je symbol používaný na označenie funkcie.
- Funkcia sa zaoberá teóriou prvočísel.
- Funkcia je použiteľná iba v prípade kladných celých čísel.
- Pre ϕ (n) možno nájsť dve multiplikatívne prvočísla na výpočet funkcie.
- Táto funkcia je matematická funkcia a je užitočná z mnohých hľadísk.
- Ak je celé číslo „n“ prvočíslo, potom gcd (m, n) = 1.
- Funkcia pracuje na vzorci 1 <m <n, kde m a n sú prvočísla a multiplikatívne čísla.
- Všeobecne platí, že rovnica je

- Funkcia v zásade počíta počet kladných celých čísel menší ako dané celé číslo, čo je relatívne prvočíslo k danému celému číslu.
- Ak dané celé číslo p je prvočíslo, potom ϕ (p) = p - 1
- Ak je sila p prvočíselná, potom ak a = p n je prvočíselná sila, potom ϕ (p n ) = p n - p (n-1)
- ϕ (n) nie je jedna - jedna
- ϕ (n) nie je na.
- ϕ (n), n> 3 je vždy párne.
- ϕ (10 n ) = 4 * 10 n-1
Vypočítajte Eulerovu úplnú funkciu
Príklad č
Vypočítať ϕ (7)?
Riešenie:
ϕ (7) = (1,2,3,4,5,6) = 6
Pretože všetky čísla sú prvočísla až 7, bolo ľahké vypočítať ϕ.
Príklad č
Vypočítať ϕ (100)?
Riešenie:
Pretože číslo 100 je veľké, je náročné počítať od 1 do 100 prvočísla, ktoré sú prvočíslami so 100. Preto použijeme nasledujúci vzorec:
- ϕ (100) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
- ϕ (100) = 2 2 * 2 5
- ϕ (100) = 2 2 * 2 5 * (1 - 1/2) * (1 - 1/5)
- = 100 * 1/2 * 4/5
- = 40
Príklad č
Vypočítať ϕ (240)?
Násobky 240 sú 16 * 5 * 3, tj. 2 4 * 5 * 3
- ϕ (240) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
- ϕ (240) = 2 4 * 5 * 3
ak n M nie je prvočíslo, použijeme n m - n m-1
- = (2 4 - 2 (4-1) ) * (5 1 - 5 (1-1) ) * (3 1 - 3 (1-1) )
- = (2 4 - 2 3 ) * (5 - 1) * (3 - 1)
- = 64
Príklad č
Vypočítať ϕ (49)?
- ϕ (49) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
- ϕ (49) = ϕ (7) * ϕ (7)
- = (7 1 - 7 (1-1) ) * (7 1 - 7 (1-1) )
- = (7-1) * (7-1)
- = 6 * 6
- = 36
Aplikácie
Rôzne aplikácie sú uvedené nižšie:
- Táto funkcia sa používa na definovanie šifrovacieho systému RSA používaného na šifrovanie internetovej bezpečnosti.
- Používa sa v teórii prvočísel.
- Používa sa aj pri veľkých výpočtoch.
- Používa sa v aplikáciách elementárnej teórie čísel.
Záver
Eulerova funkcia totienta je užitočná v mnohých ohľadoch. Používa sa v šifrovacom systéme RSA, ktorý sa používa z bezpečnostných dôvodov. Funkcia sa zaoberá teóriou prvočísel a je užitočná aj pri výpočte veľkých výpočtov. Funkcia sa používa aj pri algebraických výpočtoch a elementárnych číslach. Symbol používaný na označenie funkcie je ϕ a nazýva sa tiež funkcia phi. Funkcia spočíva skôr v teoretickom ako praktickom použití. Praktické využitie funkcie je obmedzené. Funkcii je možné lepšie porozumieť na rôznych praktických príkladoch, ako iba teoretickým vysvetlením. Existujú rôzne pravidlá pre výpočet funkcie Eulerovho totientu a pre rôzne čísla sa musia uplatňovať odlišné pravidlá. Funkcia bola prvýkrát predstavená v roku 1763, ale kvôli niektorým problémom sazískal uznanie v roku 1784 a názov bol upravený v roku 1879. Táto funkcia je univerzálnou funkciou a dá sa použiť všade.