Eulerova úplná funkcia - význam, príklady, ako vypočítať?

Čo je Eulerova úplná funkcia?

Eulerova funkcia Totient je matematická multiplikatívna funkcia, ktorá počíta kladné celé čísla až do daného celého čísla, ktoré sa všeobecne nazýva „n“, ktoré sú prvočíslom až „n“, a pomocou tejto funkcie sa pozná počet prvočísel, ktoré existujú až do dané celé číslo „n“.

Vysvetlenie

Ak chcete vedieť, koľko prvočísiel prichádza k danému celému číslu, použije sa Eulerova totientná funkcia. Nazýva sa tiež aritmetická funkcia. Pre aplikáciu alebo použitie funkcie Euler's Totient sú dôležité dve veci. Jedným z nich je, že gcd vytvorené z daného celého čísla „n“ by malo byť navzájom multiplikatívne a druhým je, že čísla gcd by mali byť iba prvočíslami. Celé číslo „n“ by v tomto prípade malo byť viac ako 1. Z mínusového celého čísla nie je možné vypočítať Eulerovu celkovú funkciu. Princíp v tomto prípade spočíva v tom, že pre ϕ (n) by multiplikátory nazývané m an mali byť väčšie ako 1. Preto sa označuje 1

História

Euler zaviedol túto funkciu v roku 1763. Spočiatku Euler používal na označenie funkcie grécky π, ale kvôli niektorým problémom jeho uznanie gréckeho π nedostalo uznanie. A nedokázal mu dať správny znak zápisu, tj ϕ. Funkciu preto nie je možné zaviesť. Ďalej ϕ bol prevzatý z Gaussovho 1801 Disquisitiones Arithmeticae. Táto funkcia sa tiež nazýva phi funkcia. Ale JJ Sylvester, v roku 1879, zahrnul termín totient pre túto funkciu kvôli vlastnostiam a použitiu funkcií. Rôzne pravidlá sú zostavené tak, aby narábali s rôznymi druhmi celých čísel, ako napríklad ak je celé číslo p prvočíslo, ktoré pravidlo sa má použiť atď., Všetky pravidlá, ktoré upravuje Euler, sú praktické a dajú sa použiť aj dnes pri riešení to isté.

Vlastnosti Eulerovej totálnej funkcie

Existujú niektoré z rôznych vlastností. Niektoré z vlastností Eulerovej totientovej funkcie sú uvedené nižšie:

  • Φ je symbol používaný na označenie funkcie.
  • Funkcia sa zaoberá teóriou prvočísel.
  • Funkcia je použiteľná iba v prípade kladných celých čísel.
  • Pre ϕ (n) možno nájsť dve multiplikatívne prvočísla na výpočet funkcie.
  • Táto funkcia je matematická funkcia a je užitočná z mnohých hľadísk.
  • Ak je celé číslo „n“ prvočíslo, potom gcd (m, n) = 1.
  • Funkcia pracuje na vzorci 1 <m <n, kde m a n sú prvočísla a multiplikatívne čísla.
  • Všeobecne platí, že rovnica je
Φ (mn) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • Funkcia v zásade počíta počet kladných celých čísel menší ako dané celé číslo, čo je relatívne prvočíslo k danému celému číslu.
  • Ak dané celé číslo p je prvočíslo, potom ϕ (p) = p - 1
  • Ak je sila p prvočíselná, potom ak a = p n je prvočíselná sila, potom ϕ (p n ) = p n - p (n-1)
  • ϕ (n) nie je jedna - jedna
  • ϕ (n) nie je na.
  • ϕ (n), n> 3 je vždy párne.
  • ϕ (10 n ) = 4 * 10 n-1

Vypočítajte Eulerovu úplnú funkciu

Príklad č

Vypočítať ϕ (7)?

Riešenie:

ϕ (7) = (1,2,3,4,5,6) = 6

Pretože všetky čísla sú prvočísla až 7, bolo ľahké vypočítať ϕ.

Príklad č

Vypočítať ϕ (100)?

Riešenie:

Pretože číslo 100 je veľké, je náročné počítať od 1 do 100 prvočísla, ktoré sú prvočíslami so 100. Preto použijeme nasledujúci vzorec:

  • ϕ (100) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • ϕ (100) = 2 2 * 2 5
  • ϕ (100) = 2 2 * 2 5 * (1 - 1/2) * (1 - 1/5)
  • = 100 * 1/2 * 4/5
  • = 40

Príklad č

Vypočítať ϕ (240)?

Násobky 240 sú 16 * 5 * 3, tj. 2 4 * 5 * 3

  • ϕ (240) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • ϕ (240) = 2 4 * 5 * 3

ak n M nie je prvočíslo, použijeme n m - n m-1

  • = (2 4 - 2 (4-1) ) * (5 1 - 5 (1-1) ) * (3 1 - 3 (1-1) )
  • = (2 4 - 2 3 ) * (5 - 1) * (3 - 1)
  • = 64

Príklad č

Vypočítať ϕ (49)?

  • ϕ (49) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • ϕ (49) = ϕ (7) * ϕ (7)
  • = (7 1 - 7 (1-1) ) * (7 1 - 7 (1-1) )
  • = (7-1) * (7-1)
  • = 6 * 6
  • = 36

Aplikácie

Rôzne aplikácie sú uvedené nižšie:

  • Táto funkcia sa používa na definovanie šifrovacieho systému RSA používaného na šifrovanie internetovej bezpečnosti.
  • Používa sa v teórii prvočísel.
  • Používa sa aj pri veľkých výpočtoch.
  • Používa sa v aplikáciách elementárnej teórie čísel.

Záver

Eulerova funkcia totienta je užitočná v mnohých ohľadoch. Používa sa v šifrovacom systéme RSA, ktorý sa používa z bezpečnostných dôvodov. Funkcia sa zaoberá teóriou prvočísel a je užitočná aj pri výpočte veľkých výpočtov. Funkcia sa používa aj pri algebraických výpočtoch a elementárnych číslach. Symbol používaný na označenie funkcie je ϕ a nazýva sa tiež funkcia phi. Funkcia spočíva skôr v teoretickom ako praktickom použití. Praktické využitie funkcie je obmedzené. Funkcii je možné lepšie porozumieť na rôznych praktických príkladoch, ako iba teoretickým vysvetlením. Existujú rôzne pravidlá pre výpočet funkcie Eulerovho totientu a pre rôzne čísla sa musia uplatňovať odlišné pravidlá. Funkcia bola prvýkrát predstavená v roku 1763, ale kvôli niektorým problémom sazískal uznanie v roku 1784 a názov bol upravený v roku 1879. Táto funkcia je univerzálnou funkciou a dá sa použiť všade.

Zaujímavé články...