Čo je to Log-Normal Distribution?
Log-normálne rozdelenie je spojité rozdelenie náhodných premenných, ktorých logaritmy sú distribuované normálne. Inými slovami, lognormálne rozdelenie je generované funkciou e x , kde sa predpokladá, že x (náhodná premenná) je normálne rozdelená. V prirodzenom logaritme e x je x, logaritmy lognormálne distribuovaných náhodných premenných sú normálne distribuované.
Premenná X sa normálne distribuuje, ak Y = ln (X), kde ln je prirodzený logaritmus.
- Y = e x
- Predpokladajme prirodzený logaritmus na oboch stranách.
- lnY = ln e x, ktorého výsledkom je lnY = x
Preto môžeme povedať, že ak X ako náhodná premenná má normálne rozdelenie, potom Y má lognormálne rozdelenie.
Vzorec denného normálneho rozdelenia
Vzorec pre funkciu hustoty pravdepodobnosti lognormálneho rozdelenia je definovaný strednou hodnotou μ a štandardnou odchýlkou σ, ktoré sú označené:
Parametre normálnej distribúcie
Distribúcia log-normálu sa vyznačuje nasledujúcimi tromi parametrami:
- σ , štandardná odchýlka protokolu distribúcie, ktorá sa nazýva aj tvarový parameter. Parameter tvaru zvyčajne ovplyvňuje celkový tvar lognormálneho rozdelenia, nemá však vplyv na umiestnenie a výšku grafu.
- m , medián distribúcie, známy tiež ako parameter mierky.
- Θ , parameter umiestnenia, ktorý sa používa na lokalizáciu grafu na osi x.
Priemer a štandardná odchýlka sú dva hlavné parametre lognormálneho rozdelenia a tieto dva parametre ich výslovne definujú.
Nasledujúci obrázok ilustruje normálne rozdelenie a log-normálne rozdelenie.
Z vyššie uvedeného obrázku by sme si mohli všimnúť nasledujúce vlastnosti rozdelenia log-normal.
- Log-normálne rozdelenia sú pozitívne skreslené doprava kvôli nižším priemerným hodnotám a vyššej variancii náhodných premenných v ohľadoch.
- Lognormálne rozdelenie je vždy ohraničené zdola nulou, pretože pomáha pri modelovaní cien aktív, od ktorých sa neočakáva záporná hodnota.
- Lognormálne rozdelenie je skreslené pozitívne s veľkým počtom malých hodnôt a obsahuje niekoľko hlavných hodnôt, ktoré vedú k tomu, že priemer je často veľmi väčší ako mód.
Na vyššie uvedenom obrázku sme mohli pozorovať, že log-normálne rozdelenie je ohraničené 0 a je pozitívne skreslené vpravo, čo si všimol jeho dlhý chvost smerom doprava. Tieto dve pozorovania sa považujú za hlavné vlastnosti lognormálnych distribúcií. V praxi sa lognormálne rozdelenie ukázalo ako veľmi užitočné pri distribúcii cien akcií alebo aktív, zatiaľ čo bežné rozdelenie je veľmi užitočné pri odhadovaní očakávaných výnosov aktíva za určité časové obdobie.
Príklady normálnej distribúcie
Nasleduje niekoľko príkladov, kde je možné použiť log-normálne distribúcie:
- Objem plynu v energetickej a ropnej rezerve.
- Objem výroby mlieka.
- Množstvo zrážok.
- Potenciálne životy výrobných a priemyselných jednotiek, ktorých šance na prežitie sú charakterizované mierou stresu.
- Rozsah období, v ktorých existuje akákoľvek infekčná choroba.
Aplikácia a použitie log-normálnej distribúcie
Nasledujú aplikácie a použitia distribúcie log-normal.
- Najbežnejšie používané a populárne rozdelenie je normálne rozdelenie, ktoré je normálne rozdelené a symetrické a vytvára zvonovitú krivku, ktorá modelovala rôzne prirodzené od jednoduchých po veľmi zložité.
- Existujú však prípady, keď normálne rozdelenie čelí obmedzeniam, pri ktorých sa dá ľahko použiť lognormálne rozdelenie. Normálne rozdelenie môže považovať zápornú náhodnú premennú, s, ale lognormálne rozdelenie predpokladá iba pozitívne náhodné premenné.
- Jedna z rôznych aplikácií, kde sa lognormálna distribúcia používa vo financiách, kde sa uplatňuje pri analýze cien aktív. Očakávaná návratnosť aktív sa grafizuje v normálnom rozdelení, ale ceny aktív sa graficky znázorňujú v lognormálnom rozdelení.
- Pomocou lognormálnej distribučnej krivky môžeme ľahko vypočítať zloženú mieru návratnosti aktív za určité časové obdobie.
- V prípade, že sme na výpočet cien aktív v určitom časovom období použili normálne rozdelenie, existujú možnosti získania výnosov menej ako -100%, čo následne predpokladá ceny aktív menšie ako 0. Ak však na odhad zloženia použijeme lognormálne rozdelenie mieru návratnosti za určité časové obdobie, môžeme ľahko odvrátiť situáciu dosahovania negatívnych výnosov, pretože lognormálne rozdelenie zohľadňuje iba pozitívne náhodné premenné.
- Cenový relatívny je cena aktíva na konci obdobia vydelená počiatočnou cenou aktíva, ktorá sa rovná 1 plus výnosy z obdobia držby. Aby sme našli koniec aktíva dobovej ceny, môžeme ho získať vynásobením relatívnou cenou krát počiatočná cena aktíva. Normálne rozdelenie má iba kladnú hodnotu; preto cena aktíva na konci obdobia nemôže byť nižšia ako 0.
Log-normálne rozdelenie pri modelovaní cien akcií
Log-normálna distribúcia sa použila na modelovanie pravdepodobnostného rozdelenia zásob a mnohých ďalších cien aktív. Pozorovali sme napríklad lognormálne bytie, ktoré sa objavuje v modeli oceňovania opcií Black-Scholes-Merton, kde existuje predpoklad, že cena možnosti podkladového aktíva je lognormálne distribuovaná súčasne.
Záver
- Normálne rozdelenie je rozdelenie pravdepodobnosti, o ktorom sa hovorí, že je to asymetrická a zvonovitá krivka. Pri normálnom rozdelení 69% výsledku spadá do jednej štandardnej odchýlky a 95% do dvoch štandardných odchýlok.
- Kvôli popularite normálnej distribúcie je väčšina ľudí oboznámená s konceptom a aplikáciou normálnej distribúcie, ale v tom čase sa nezdá byť rovnako oboznámená s koncepciou lognormálnej distribúcie. Normálne rozdelenie je možné previesť na lognormálne rozdelenie pomocou logaritmov, ktoré sa stávajú základným základom, pretože lognormálne rozdelenia považujú jedinú náhodnú premennú, ktorá je normálne distribuovaná.
- Lognormálne rozdelenie je možné použiť v spojení s normálnym rozdelením. Lognormálne rozdelenia sú výsledkom predpokladu prirodzeného logaritmu ln, v ktorom je báza rovná e = 2,718. Okrem daného základu bolo možné lognormálne rozdelenie vykonať pomocou iného základu, ktorý by následne ovplyvnil tvar lognormálneho rozdelenia.
- Logické rozdelenie zobrazuje graf logicky rozdelených náhodných premenných z kriviek normálneho rozdelenia. Prirodzený logaritmus ln je známy ako exponent, na ktorý by sa mala zvýšiť báza, aby sa získala požadovaná náhodná premenná x, ktorú je možné nájsť na krivke normálneho rozdelenia.
