Vzorec na výpočet binomického rozdelenia
Binomický distribučný vzorec sa používa na výpočet pravdepodobnosti získania x úspechov v n pokusoch binomického experimentu, ktoré sú nezávislé a pravdepodobnosť sa odvodí kombináciou medzi počtom pokusov a počet úspechov predstavovaných nCx sa vynásobí pravdepodobnosťou získaného úspechu na mocninu počtu úspechov predstavovanú px, ktorá sa ďalej vynásobí pravdepodobnosťou neúspechu zvýšenú na mocninu rozdielu medzi počtom úspechov a počtom pokusov predstavovaných (1-p) nx.
Pravdepodobnosť získania x úspechov v n nezávislých pokusoch binomického experimentu je daná nasledujúcim vzorcom binomického rozdelenia:
P (X) = n C x p x (1-p) nx
kde p je pravdepodobnosť úspechu
Vo vyššie uvedenej rovnici sa používa n C x , čo nie je nič iné ako kombinovaný vzorec. Vzorec na výpočet kombinácií je uvedený ako n C x = n! / X! (nx)! kde n predstavuje počet položiek (nezávislé pokusy) a x predstavuje počet položiek, ktoré sú súčasne vybrané (úspechy).
V prípade n = 1 v binomickom rozdelení je distribúcia známa ako Bernoulliho distribúcia. Priemer binomického rozdelenia je np. Rozptyl binomického rozdelenia je np (1-p).
Výpočet binomického rozdelenia (krok za krokom)
Výpočet binomického rozdelenia je možné odvodiť pomocou nasledujúcich štyroch jednoduchých krokov:
- Krok 1: Vypočítajte kombináciu medzi počtom pokusov a počtom úspechov. Vzorec pre n C x je kde n! = n * (n-1) * (n-2) … * 2 * 1. Pre číslo n možno faktoriál n zapísať ako n! = n * (n-1)! Napríklad 5! je 5 * 4 * 3 * 2 * 1
- Krok 2: Vypočítajte pravdepodobnosť úspechu zvýšenú na hodnotu počtu úspechov, ktoré sú p x .
- Krok 3: Vypočítajte pravdepodobnosť neúspechu zvýšenú na rozdiel medzi počtom úspechov a počtom pokusov. Pravdepodobnosť poruchy je 1-s. Týka sa to teda získania (1-p) nx
- Krok 4: Vyhľadajte produkt výsledkov získaných v krokoch 1, 2 a 3.
Príklady
Príklad č
Počet pokusov (n) je 10. Pravdepodobnosť úspechu (p) je 0,5. Vykonajte výpočet binomického rozdelenia a vypočítajte pravdepodobnosť získania presne šiestich úspechov.
Riešenie:
Nasledujúce údaje sa používajú na výpočet binomického rozdelenia.
Výpočet binomického rozdelenia je možné vykonať nasledovne,
P (x = 6) = 10 C 6 * (0,5) 6 (1-0,5) 10-6
= (10! / 6! (10-6)!) * 0,015625 * (0,5) 4
= 210 * 0,015625 * 0,0625
Pravdepodobnosť, že získate presne 6 úspechov bude
P (x = 6) = 0,2051
Pravdepodobnosť získania presne 6 úspechov je 0,2051
Príklad č
Manažér poisťovacej spoločnosti prechádza údajmi o poistných zmluvách, ktoré predávajú predajcovia poistenia, ktorí pod ním pracujú. Zistil, že 80% ľudí, ktorí si kupujú poistenie motorových vozidiel, sú muži. Chce zistiť, že ak bude náhodne vybraných 8 majiteľov poistenia motorových vozidiel, aká by bola pravdepodobnosť, že presne 5 z nich sú muži.
Riešenie: Najprv musíme zistiť, čo sú n, p a x.
Výpočet binomického rozdelenia je možné vykonať nasledovne,
P (x = 5) = 8 C 5 * (0,8) 5 (1-0,8) 8-5
= (8! / 5! (8-5)!) * 0,32768 * (0,2) 3
= 56 * 0,32768 * 0,008
Pravdepodobnosť presne 5 Úspechy sa BE
P (x = 5) = 0,14680064
Pravdepodobnosť, že presne 5 majiteľov poistenia motorových vozidiel budú muži, je 0,14680064.
Príklad č
Vedenie nemocnice je nadšené zo zavedenia nového lieku na liečbu pacientov s rakovinou, pretože šanca, že ním bude človek úspešne liečený, je veľmi vysoká. Pravdepodobnosť úspešnej liečby pacienta pacientom je 0,8. Liek sa podáva 10 pacientom. Nájdite pravdepodobnosť, že ňou bude úspešne liečených 9 alebo viac pacientov.
Riešenie: Najprv musíme zistiť, čo je n, p a x.
Musíme zistiť pravdepodobnosť, že ňou bude úspešne liečených 9 alebo viac pacientov. Takto je ním úspešne liečených buď 9 alebo 10 pacientov
x (číslo, pre ktoré musíte nájsť pravdepodobnosť) = 9 alebo x = 10
Musíme nájsť P (9) a P (10)
Výpočet binomického rozdelenia na nájdenie P (x = 9) je možné vykonať nasledovne,
P (x = 9) = 10 C 9 * (0,8) 9 (1-0,8) 10-9
= (10! / 9! (10-9)!) * 0,134217728 * (0,2) 1
= 10 * 0,134217728 * 0,2
Pravdepodobnosť 9 pacientov bude
P (x = 9) = 0,2684
Výpočet binomického rozdelenia na nájdenie P (x = 10) je možné vykonať nasledovne,
P (x = 10) = 10 C 10 * (0,8) 10 (1-0,8) 10-10
= (10! / 10! (10-10)!) * 0,107374182 * (0,2) 0
= 1 * 0,107374182 * 1
Pravdepodobnosť 10 pacientov bude
P (x = 10) = 0,1074
Preto P (x = 9) + P (x = 10) = 0,268 + 0,1074
= 0,3758
Pravdepodobnosť, že 9 alebo viac pacientov bude liečených týmto liekom, je teda 0,375809638.
Binomická distribučná kalkulačka
Môžete použiť nasledujúcu binomickú distribučnú kalkulačku.
| n | |
| p | |
| X | |
| Vzorec dvojčlenného rozdelenia = | |
| Vzorec dvojčlenného rozdelenia = | n C x * p x * (1 -p) nx | |
| 0 C 0 * 0 0 * (1-0) 0-0 = | 0 |
Relevantnosť a použitie
- Existujú iba dva výsledky
- Pravdepodobnosť každého výsledku zostáva konštantná od pokusu k súdu
- Existuje pevný počet pokusov
- Každé hodnotenie je nezávislé, tj. Sa navzájom vylučuje od ostatných
- Poskytuje nám frekvenčné rozdelenie možného počtu úspešných výsledkov v danom počte pokusov, kde každé z týchto pokusov má rovnakú pravdepodobnosť úspechu.
- Každá skúška v binomickom experimente môže mať za následok iba dva možné výsledky. Preto je názov „binomický“. Jeden z týchto výsledkov je známy ako úspech a druhý ako neúspech. Napríklad chorí ľudia môžu na liečbu odpovedať alebo nie.
- Podobne, keď hodíme mincou, môžeme mať iba dva typy výsledkov: hlavy alebo chvosty. Binomické rozdelenie je diskrétne rozdelenie používané v štatistike, ktoré sa líši od spojitého rozdelenia.
Príkladom binomického experimentu je odhodenie mince, povedzme trikrát. Keď hodíme mincou, sú možné iba dva výsledky - hlava a chvost. Pravdepodobnosť každého výsledku je 0,5. Pretože je minca hodená trikrát, je počet pokusov pevný, to je 3. Pravdepodobnosť každého hodenia nie je ovplyvnená inými hodmi.
Binomická distribúcia nachádza svoje uplatnenie v štatistikách spoločenských vied. Používa sa na vývoj modelov pre premenné dichotomických výsledkov, kde existujú dva výsledky. Príkladom toho je, či by voľby vyhrali republikáni alebo demokrati.
Vzorec binomického rozdelenia v programe Excel (so šablónou programu Excel)
Saurabh sa o rovnici binomického rozdelenia dozvedel v škole. Chce o koncepcii diskutovať so svojou sestrou a staviť sa s ňou. Myslel si, že desaťkrát odhodí nezaujatú mincu. Chce vsadiť 100 dolárov na získanie presne piatich chvostov v 10 žrebovaní. Pre túto stávku chce vypočítať pravdepodobnosť získania presne piatich chvostov v 10 žrebovaní.
Riešenie: Najprv musíme zistiť, čo je n, p a x.
Existuje zabudovaný vzorec pre binomickú distribúciu, ktorý je Excel
Je to BINOM.DIST (počet úspechov, skúšky, pravdepodobnosť úspechu, FALSE).
Pre tento príklad binomického rozdelenia by bolo:
= BINOM.DIST (B2, B3, B4, FALSE), kde bunka B2 predstavuje počet úspechov, bunka B3 predstavuje počet pokusov a bunka B4 predstavuje pravdepodobnosť úspechu.
Výpočet binomickej distribúcie bude preto
P (x = 5) = 0,24609375
Pravdepodobnosť získania presne 5 chvostov v 10 žrebovaní je 0,24609375
Poznámka: FALSE vo vyššie uvedenom vzorci označuje funkciu pravdepodobnostnej hmotnosti. Vypočítava pravdepodobnosť, že bude presne n úspechov z n nezávislých pokusov. TRUE označuje funkciu kumulatívnej distribúcie. Vypočíta pravdepodobnosť maximálneho počtu x úspechov z n nezávislých pokusov.
