Čo je konvexita dlhopisu?
Konvexita dlhopisu je opatrenie, ktoré ukazuje vzťah medzi cenou dlhopisu a výnosom dlhopisu, tj. Zmena v trvaní dlhopisu v dôsledku zmeny úrokovej sadzby, čo pomáha nástroju na riadenie rizika merať a riadiť portfólio vystavenie úrokovému riziku a riziku straty očakávania
Vysvetlenie
Ako vieme, cena dlhopisu a výnos sú nepriamo spojené, tj so zvyšujúcim sa výnosom cena klesá. Tento vzťah však nie je priamka, ale je konvexnou krivkou. Konvexita meria zakrivenie v tomto vzťahu, tj. Ako sa mení trvanie so zmenou výnosu dlhopisu.
Trvanie dlhopisu je lineárny vzťah medzi cenou dlhopisu a úrokovými sadzbami, kde so zvyšovaním úrokových sadzieb klesá cena dlhopisu. Jednoducho povedané, vyššia durácia znamená, že cena dlhopisu je citlivejšia na zmeny kurzu. Pre malú a náhlu zmenu dlhopisu je trvanie výnosu dobrou mierou citlivosti ceny dlhopisu. Pre väčšie zmeny vo výťažku však nie je meranie trvania efektívne, pretože vzťah je nelineárny a je krivkou. Existujú štyri rôzne typy opatrení durácie, a to Macaulayova durácia, modifikovaná durácia, efektívna durácia a doba trvania kľúčovej sadzby, ktoré všetky merajú, ako dlho trvá splatenie ceny dlhopisu internými hotovostnými tokmi. Líšia sa v tom, ako zaobchádzajú so zmenami úrokových sadzieb, vloženými opciami dlhopisov a opciami na splatenie dlhopisov. Oni všaknezohľadňovať nelineárny vzťah medzi cenou a výnosom.
Konvexita meria citlivosť trvania dlhopisu na zmenu výnosu. Konvexita je dobrým meradlom pre zmeny cien dlhopisov s väčšími výkyvmi úrokových sadzieb. Matematicky vzaté, konvexita je druhý derivát vzorca na zmenu cien dlhopisov so zmenou úrokových sadzieb a prvý derivát duračnej rovnice.
Vzorec konvexity dlhopisov
Výpočet príkladu konvexity
Pri dlhopisu s nominálnou hodnotou 1 000 USD s polročným kupónom 8,0% a výnosom 10% a splatnosťou 6 rokov a súčasnou cenou 911,37 je durácia 4,82 roka, modifikovaná durácia 4,59 a výpočet pre konvexitu by bol:
Ročná konvexita: Polročná konvexita / 4 = 26 2643 Polročná konvexita: 105 0573
Vo vyššie uvedenom príklade možno na predikciu zmeny ceny pri zmene výnosu o 1% použiť konvexnosť 26 2643:
Ak sa použije iba upravená doba trvania:
Zmena ceny = - Upravené trvanie * Zmena výnosu
Zmena ceny pri 1% zvýšení výnosu = (- 4,59 * 1%) = -4,59%
Cena by teda klesla o 41,83
Aby sa prispôsobil konvexnému tvaru grafu, zmena cenového vzorca sa zmení na:
Zmena ceny = ( - Upravené trvanie * Zmena výnosu ) + ( 1/2 * Konvexnosť * (zmena výnosu) 2 )
Zmena ceny pri 1% zvýšení výnosu = (-4,59 * 1%) + (1/2 * 26,2643 * 1%) = -4,46%
Cena by teda klesla iba o 40,64 namiesto o 41,83
To ukazuje, ako sa pri rovnakom 1% zvýšení výnosu zmení predikovaný pokles ceny, ak sa použije jediné trvanie oproti tomu, keď sa upraví aj konvexnosť krivky cenového výnosu.
Cena pri 1% zvýšení výnosu predpovedaná Modifikovanou duráciou je 869,54 a predikovaná pomocou modifikovanej durácie a konvexnosti dlhopisu je 870,74. Tento rozdiel v zmene ceny 1,12 je spôsobený skutočnosťou, že krivka cenového výnosu nie je lineárna, ako to predpokladá vzorec trvania.
Vzorec na aproximáciu konvexnosti
Ako je zrejmé z výpočtu konvexnosti, môže byť výpočet pomerne zdĺhavý a dlhý, najmä ak je dlhopis dlhodobý a má množstvo peňažných tokov. Vzorec na aproximáciu konvexnosti je nasledovný:
Konvexita a riadenie rizík
Ako je zrejmé zo vzorca, Konvexita je funkciou ceny dlhopisu, YTM (Výnos do splatnosti), Času do splatnosti a súčtu peňažných tokov. Počet tokov kupónov (peňažné toky) mení trvanie, a teda konvexnosť dlhopisu. Trvanie nulového dlhopisu sa rovná jeho času do splatnosti, ale keďže medzi jeho cenou a výnosom stále existuje konvexný vzťah, dlhopisy s nulovým kupónom majú najvyššiu konvexitu a jeho ceny sú najcitlivejšie na zmeny výnosu.
Vo vyššie uvedenom grafe je dlhopis A konvexnejší ako dlhopis B, aj keď majú obe rovnaké trvanie, a preto je dlhopis A menej ovplyvnený zmenami úrokových sadzieb.
Konvexita je nástroj na riadenie rizika, ktorý sa používa na definovanie toho, aké rizikové je dlhopis, tým viac ako konvexnosť dlhopisu; viac je jeho cenová citlivosť na pohyby úrokových sadzieb. Dlhopis s vyššou konvexnosťou má väčšiu zmenu ceny pri poklese úrokovej sadzby ako dlhopis s nižšou konvexnosťou. Preto keď sa pri dvoch podobných dlhopisoch hodnotí investícia s podobným výnosom a duráciou, uprednostňuje sa ten s vyššou konvexnosťou v stabilných alebo klesajúcich úrokových scenároch, pretože cenová zmena je väčšia. V scenári poklesu úrokových sadzieb by bola vyššia konvexnosť lepšia, pretože cenová strata pri zvýšení úrokových sadzieb by bola menšia.
Pozitívna a negatívna konvexnosť
Konvexita môže byť pozitívna alebo negatívna. Dlhopis má pozitívnu konvexnosť, ak sa výnos a trvanie dlhopisu spoločne zvyšujú alebo znižujú, tj majú pozitívnu koreláciu. Výnosová krivka sa zvyčajne posúva nahor. Tento typ je pre dlhopisy, ktoré neobsahujú kúpnu opciu ani možnosť predčasného splatenia. Dlhopisy majú zápornú konvexnosť pri zvyšovaní výnosu, znižovaní durácie, tj existuje negatívna korelácia medzi výnosom a duráciou a výnosová krivka sa posúva smerom nadol. Jedná sa zvyčajne o dlhopisy s kúpnou opciou, hypotéky kryté hypotékou a tie dlhopisy, ktoré majú možnosť splácania. Ak má dlhopis s možnosťou predčasného splatenia alebo predplatením alebo kúpnou opciou prirážku, môže sa konvexnosť zmeniť na pozitívnu.
Výplaty kupónov a periodicita splátok dlhopisu prispievajú k konvexnosti dlhopisu. Ak počas životnosti dlhopisu existuje viac pravidelných kupónových splátok, potom je ich konvexnosť vyššia, čím sa stáva odolnejším voči úrokovým rizikám, pretože pravidelné platby pomáhajú eliminovať vplyv zmeny trhových úrokových sadzieb. Ak existuje jednorazová platba, potom je konvexnosť najmenšia, čo z nej robí riskantnejšiu investíciu.
Konvexita dlhopisového portfólia
Pre portfólio dlhopisov by konvexita merala riziko všetkých dlhopisov dohromady a je to vážený priemer jednotlivých dlhopisov bez toho, aby sa ako váhy používali žiadne dlhopisy, alebo trhová hodnota dlhopisov.
Aj keď konvexita berie do úvahy nelineárny tvar krivky ceny a výnosu a prispôsobuje sa predikcii zmeny ceny, stále zostáva nejaká chyba, pretože je iba druhým derivátom rovnice ceny a výnosu. Ak chcete získať presnejšiu cenu pri zmene výnosu, pridaním nasledujúceho derivátu by sa cena dostala oveľa bližšie k skutočnej cene dlhopisu. Dnes, keď sú sofistikované počítačové modely predpovedajúce ceny, je konvexnosť skôr mierou rizika dlhopisu alebo dlhopisového portfólia. Konvexnejšie dlhopisy alebo dlhopisové portfólio menej rizikové; je to tak, že zmena ceny pri znižovaní úrokových sadzieb je menšia. Takže dlhopis, ktorý je konvexnejší, by mal nižší výnos, pretože trhové ceny majú nižšie riziko.
Úrokové riziko a konvexnosť
Meranie rizika dlhopisu zahŕňa množstvo rizík. Patria sem okrem iného:
- Trhové riziko, ktoré sa mení v trhovej úrokovej sadzbe neziskovým spôsobom
- Riziko predčasného splatenia, ktorým je dlhopis, je splatené skôr, ako je dátum splatnosti, čím sa narušia peňažné toky
- Riziko zlyhania, ktorým je emitent dlhopisov, by nezaplatil úrok ani istinu
Riziko úrokovej sadzby je univerzálnym rizikom pre všetkých majiteľov dlhopisov, pretože každé zvýšenie úrokovej sadzby by znížilo ceny a všetko zníženie úrokovej sadzby by zvýšilo cenu dlhopisu. Toto úrokové riziko sa meria upravenou duráciou a ďalej sa spresňuje konvexnosťou. Konvexita je mierou systémového rizika, pretože meria vplyv zmeny hodnoty dlhopisového portfólia s väčšou zmenou trhovej úrokovej sadzby, zatiaľ čo na predikciu menších zmien úrokových mier stačí modifikovaná durácia.
Ako už bolo spomenuté skôr, konvexita je pre pravidelné dlhopisy pozitívna, ale pre dlhopisy s opciami, ako sú splatné dlhopisy, cenné papiere kryté hypotékou (ktoré majú možnosť predčasného splatenia), majú dlhopisy negatívnu konvexnosť pri nižších úrokových sadzbách so zvyšujúcim sa rizikom predčasného splatenia. U takýchto dlhopisov so zápornou konvexnosťou sa ceny významne nezvyšujú so znižovaním úrokových sadzieb, pretože peňažné toky sa menia v dôsledku predčasného splatenia a predčasného splatenia.
Pretože sú peňažné toky viac rozložené, konvexnosť sa zvyšuje so zvyšujúcim sa úrokovým rizikom s väčšími rozdielmi medzi peňažnými tokmi. Takže konvexita ako opatrenie je užitočnejšia, ak sú kupóny viac roztiahnuté a majú menšiu hodnotu. Ak máme dlhopis s nulovým kupónom a portfólio dlhopisov s nulovým kupónom, konvexnosť je nasledovná:
- doba trvania dlhopisu s nulovým kupónom, ktorá sa rovná jeho splatnosti (pretože existuje iba jeden hotovostný tok), a preto je jeho konvexnosť veľmi vysoká
- zatiaľ čo trvanie portfólia dlhopisov s nulovým kupónom je možné upraviť tak, ako je to v prípade dlhopisu s nulovým kupónom, zmenou nominálnej hodnoty a hodnoty splatnosti dlhopisov s nulovým kupónom v rámci portfólia. Konvexnosť tohto portfólia je však vyššia ako pri dlhopise s nulovým kupónom. Je to tak preto, lebo peňažné toky z dlhopisov v portfóliu sú rozptýlenejšie ako toky jednotlivých dlhopisov s nulovým kupónom.
Konvexita dlhopisov s put opciou je pozitívna, zatiaľ čo u dlhopisu s call opciou je negatívna. Je to tak preto, lebo keď je opcia s právom predaja v peniazoch, potom ak trh klesá, môžete dať dlhopis alebo ak trh stúpa, uchováte všetky peňažné toky. Vďaka tomu je konvexita pozitívna. Ak však dôjde k zníženiu trhovej úrokovej sadzby, emitent alebo dlhopis s kúpnou opciou by dlhopis nazval dlhopisom a ak by sa trhová sadzba zvýšila, peňažný tok by zostal zachovaný. Z dôvodu možnej zmeny v hotovostných tokoch je konvexnosť dlhopisu negatívna pri znižovaní úrokových sadzieb.
Meraná konvexnosť dlhopisu, ak sa neočakáva zmena v budúcich peňažných tokoch, sa nazýva modifikovaná konvexnosť. Ak sa v budúcich peňažných tokoch očakávajú zmeny, meraná konvexnosť je efektívna konvexnosť.
Záver
Konvexita vzniká v dôsledku tvaru krivky ceny a výnosu. Keby bol graf výnosu na trhu plochý a všetky zmeny cien by boli paralelné, potom by bolo konvexnejšie portfólio, tým lepšie by fungovalo, a nebolo by tu miesto pre arbitráž. Pretože je však výnosový graf zakrivený, pre dlhodobé dlhopisy je krivka cenového výnosu hrbovitá, aby vyhovovala nižšej konvexnosti v druhom termíne.
Napokon, konvexnosť je mierou dlhopisu alebo citlivosti portfólia na úrokovú mieru a mala by sa používať na hodnotenie investícií na základe rizikového profilu investora.
Súvisiace články
- Hodnota splatnosti
- ABS a MBS index
- Ceny dlhopisov
- Účtovanie konvertibilných dlhopisov
